Dirichlet series with two variables and distribution of values of arithmetical functions.
Séries de Dirichlet à deux variables et distribution des valeurs de fonctions arithmétiques.
Résumé
We deal with two problems related to Dirichlet series. First we study the analytic continuation of a class of Dirichlet series with two variables : g(s_1,s_2,a,r)=∑ (d≥1) r(d)a(d)^{-s_1}d^{-s_2}, where a(d) is a positive multiplicative function and r(d) is a multiplicative function. We prove, under certain hypotheses, a general theorem which allows us to approach this Dirichlet series by a known series, modulo another series for which we get very precise upper bounds. Then we use this tool to get quantitative results on the distribution of values of arithmetical functions. Under certain hypotheses on the functions a(d) and r(d), we determine X^{-1}∑ (d≤X, a(d)≤z) r(d) (0
Nous traitons deux problèmes liés aux séries de Dirichlet. Nous étudions d'abord le prolongement analytique d'une certaine classe de séries de Dirichlet à deux variables : g(s_1,s_2,a,r)=∑ (d≥1) r(d)a(d)^{-s_1}d^{-s_2}, où a(d) est une fonction multiplicative strictement positive et r(d) est une fonction multiplicative. Nous démontrons, sous certaines hypothèses, un théorème général qui permet d'approcher cette série de Dirichlet par une série connue, modulo une autre série pour laquelle nous obtenons des majorations très précises. Nous utilisons ensuite cet outil pour obtenir des résultats quantitatifs sur la distribution des valeurs de fonctions arithmétiques. Sous certaines hypothèses sur les fonctions a(d) et r(d), nous déterminons la limite lorsque X tend vers l'infini de X^{-1}∑ (d≤X, a(d)≤z) r(d) (0
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